Geometri Transformasi

SIMILARITAS
(Kesebangunan)

Defenisi:

Suatu transformsi L adalah suatu similaritas bila terdapat bilangan positif k sehingga untuk setiap pasangan titik P dan Q dipenuhi P’Q’=k.PQ dengan P’=L(P) dan Q’=L(Q).

Dalil 1:

Similaritas adalah suatu kolineasi.

Dalil 2:

Hasilkali similaritas L_k dan similaritas L_m adalah similaritas lagi dengan faktor km.

Dalil 3:

Similaritas mempertahankan besar sudut.

Akibat:

Similaritas mempertahankan ketegaklurusan.

Dalil 4:

Similaritas mempertahankan kesejajaran.

Kejadian Khusus : Tarikan (N_Pk)

Definisi:

Untuk suatu titik P dan bilangan positif k, transformasi N_P,k disebut tarikan terhadap P dengan faktor k bila:

(i)                 N_P,k(P)=P

(ii)               Untuk Q≠P, N_P,k(Q)=Q’ dipenuhi PQ’=kPQ

Bilangan k disebut faktor tarikan sedang P disebut pusat tarikan.

Dalil 5:

Tarikan merupakan suatu similaritas.

Faktor tarikan merupakan faktor similaritas.

Dalil 6:

Untuk suatu garis g dan g’=N_P,k(g) berlaku:

(i)                 g’=g jika P terletak pada g

(ii)               g’⁄⁄g jika P di luar g

Dalil 7:

Paling banyak hanya ada satu similaritas yang membawa tiga titik tak segaris A, B, C ke tiga titik tak segaris lain A’, B’, C’ berturut-turut.

Dalil 8:

Hasilkali suatu tarikan dan suatu isometri akan menghasilkan suatu similaritas,. Sebaliknya, setiap similaritas selalu dapat dianggap sebagai hasilkali suatu tarikan dengan suatu isometri.

Dalil 9:

Untuk sepasang segitiga yang saling sebangun ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’, dan C ke C’.

Dalil 10:

Himpunan similaritas menyusun grup.